1.间隔增长率

1.1间隔增长率

识别：隔一年，求增长率（间隔一年，以率求率）

公式：r 间隔=r1 + r2 + r1 * r2

速算：（1）r1,r2 的绝对值小于 10%，选项相差一个百分点以上，r1 * r2 可以忽略（10% * 10% =1%）

（2）化成分数；化成小数

（3）利用选项看答案

1.2间隔增长率拔高

识别：已知今年同比增长率r1，两年平均增长率 r均，求去年同比增长率r2

------------：精算:

$$2r\mathrm{均}+r{\mathrm{均}}^2=r1+r2+r1\ast r2$$

考场解法：估算：

$$2r\mathrm{均}-r1$$

例子：已知2021年比2020年增长12%，两年平均增长10%，求2020比2019年增长大约多少？

A.8%

B.2%

C.5%

D.-2%

解析：已知r1为12%，r均是10%。则根据公式2r均 - r1 = 2*10% - 12% = 20% -12% =8%，所以选A

2.间隔倍数

识别：间隔一年，求倍数

方法：先求出 r 间，在利用 间隔倍数 = r 间 + 1

例：2020 年工资同比增长了 30%，2019 年同比增长了 20%，则 2020 年工资是 2018 年的多少倍？

r 间 = 30% + 20% + 30% * 20% =50% + 6% = 56%

间隔倍数 = r 间 +1 =56% + 1=0.56 + 1=1.56 倍

3.间隔基期量

识别：间隔一年，求基期

$$\mathrm{方}\mathrm{法}：\mathrm{先}\mathrm{求}\mathrm{出}r\mathrm{间}，\mathrm{再}\mathrm{求}\mathrm{出}\mathrm{间}\mathrm{隔}\mathrm{基}\mathrm{期}\frac{\mathrm{现}\mathrm{期}\mathrm{量}}{1+r\mathrm{间}}$$

例：2020 年工资 400 元，同比增长了 10%，2019 年同比增长了 20%，则 2018 年的工资是多少？

r 间 = 10% + 20% + 10% * 20% =30% + 2% = 32%

$$\mathrm{间}\mathrm{隔}\mathrm{基}\mathrm{期}=\frac{\mathrm{现}\mathrm{期}\mathrm{量}}{1+r\mathrm{间}}=\frac{400}{1+32\mathrm{\%}}=30.3$$

4.间隔增长率逆向公式

逆向考察：给r1和r间，求r2

$$r2=\frac{r\mathrm{间}-r1}{1+r1}$$

例：已知2021年比2020年增长了15%，2021比2019年增长了30%，求2020比2019年增长大约多少

A.-16%       B.-13%       C.13%       D.16%

解析：15%是r1，30%是r间带公式$r2=\frac{r\mathrm{间}-r1}{1+r1}$即可，$r2=\frac{30\mathrm{\%}-15\mathrm{\%}}{1+15\mathrm{\%}}$，15%除以一个比1大的数，结果小于15%，所以选C

5.年均增长率

5.1年均增长率比较大小

识别：年均增长最快，年均增速排序

技巧：n相同，直接比较现期/基期，即直接比较现期与基期之间的倍数大小

5.2年均增长率计算（基本不考，考的少）

识别：年均增长最快、年均增速排序、年均增长率

$$\mathrm{公}\mathrm{式}：(1+r{)}^n=\frac{\mathrm{现}\mathrm{期}\mathrm{量}}{\mathrm{基}\mathrm{期}\mathrm{量}}(n\mathrm{为}\mathrm{现}\mathrm{期}\mathrm{和}\mathrm{基}\mathrm{期}\mathrm{的}\mathrm{年}\mathrm{份}\mathrm{差})$$$$\mathrm{比}\mathrm{较}：n\mathrm{相}\mathrm{同}，\mathrm{只}\mathrm{见}\mathrm{比}\mathrm{较}\frac{\mathrm{现}\mathrm{期}}{\mathrm{基}\mathrm{期}}$$

计算：平方数居中代入

快速计算（不建议用，一般居中带入就够用了）

$(1)\mathrm{当}|r|<=5\mathrm{\%},(1+r{)}^n\mathrm{约}\mathrm{等}\mathrm{于}1+nr$

$(2)\mathrm{当}|r|>5\mathrm{\%},(1+r{)}^n\mathrm{大}\mathrm{于}1+nr，\mathrm{先}\mathrm{确}\mathrm{定}\mathrm{范}\mathrm{围}；\mathrm{再}\mathrm{结}\mathrm{合}\mathrm{选}\mathrm{项}\mathrm{带}\mathrm{入}（\mathrm{巧}\mathrm{用}\mathrm{隔}\mathrm{年}\mathrm{增}\mathrm{速}）$

$\mathrm{注}:(1+10\mathrm{\%}{)}^4\mathrm{约}\mathrm{等}\mathrm{于}1.46,(1+20\mathrm{\%}{)}^4\mathrm{约}\mathrm{等}\mathrm{于}2.07$

---

$\mathrm{例}1:(1+r{)}^4\mathrm{约}\mathrm{等}\mathrm{于}1.21$

A.2%

B.5%

C.8%

D.11%

解：因为 abcd 四个选项中有 r<=5% 的，即 a,b，所以可以套公式：

$(1+r{)}^n=1+nr$ 即(1 + r)^4=1+4r=1.21 r=0.05即5%，选B

---

$\mathrm{例}2:(1+r{)}^5\mathrm{约}\mathrm{等}\mathrm{于}1.35$

A.6.2%

B.7.1%

C.7.6%

D.7.9%

解：因为 abcd 四个选项的 r 都 >5%，可以先判断范围，即套公式:

$(1+r{)}^n>1+nr\mathrm{即}1.35>1+5rr<0.07\mathrm{即}7$

---

$\mathrm{例}3:(1+r{)}^4\mathrm{约}\mathrm{等}\mathrm{于}1.79$

A.6%

B.10%

C.16%

D.25%

$\mathrm{因}\mathrm{为}:(1+10\mathrm{\%}{)}^4=1.46(1+20\mathrm{\%}{)}^4=2.07$

且 1.79 在 1.46 和 2.07 之间，所以可得 r 在 10% 和 20% 之间，所以只能选 C

---

$\mathrm{例}4:(1+r{)}^5\mathrm{约}\mathrm{等}\mathrm{于}2.604$

A.8.3%

B.11.7%

C.18.6%

D.21.1%

已知1+20%的4次方约等于2.07，求一下 1.2 的 5 次方，即 2.07*1.2，约等于 2.484，那么就是 1.2 的 5 次方为 2.484 小于 2.604，可得 r 应该是一个大于 20% 的数，结合选项选 D

---

$\mathrm{例}5:(1+r{)}^5\mathrm{约}\mathrm{等}\mathrm{于}0.869$

A.-2.8%

B.-6.3%

C.-10%

D.-13.2%

解：因为 abcd 四个选项中的 A 选项得绝对值 <=5%,可用公式1+r的n次方约等于1+nr,即

$(1 + r)^5 约等于0.869 约等于1+5r r约等于 -0.026，即-2.6%，结合选项选A $

---

$\mathrm{例}6:(1+r{)}^3\mathrm{约}\mathrm{等}\mathrm{于}1.034$

A.0.08%

B.1.06%

C.1.14%

D.3.4%

解：因为 abcd 四个选项的绝对值 <=5%,可用公式1+r的n次方约等于1+nr,即

$(1+r{)}^3\mathrm{约}\mathrm{等}\mathrm{于}1.034\mathrm{约}\mathrm{等}\mathrm{于}1+3rr\mathrm{约}\mathrm{等}\mathrm{于}0.011，\mathrm{即}1.1$

---

$\mathrm{例}7:(1+r{)}^4\mathrm{约}\mathrm{等}\mathrm{于}0.237$

A.-18.7%

B.-25.5%

C.-30.3%

D.-32.5%

解：因为 abcd 四个选项的 r 都 >5%，可以先判断范围，即套公式1+r的n次方大于1+nr,即

即0.237>1+4r r<-0.19+即<-19+%，排掉A，剩下的bcd带选项，但是不要直接带选项，太难算了；最好带整数，观察bc可知bc之间有个-30%，可以带入试一试

（1-30%）的4次方=0.7的4次方，0.7*0.7=0.49 0.49*0.49=0.50*0.48 = 24 和 0.237 非常接近了，所以选 C

---

$\mathrm{例}8:(1+r{)}^4\mathrm{约}\mathrm{等}\mathrm{于}1.39$

A.8.6%

B.9.2%

C.9.7%

D.10.2%

解：已知（1+10%）的4次方约等于1.46

1.39 < 1.46，即 r<10%,即 r<10%,排掉 D 选项。剩下的再选择带入，带入选整数最好，可带入 9%

$(1+9$

4 次方就是 4 个年均增速，4 年的年均增速都是 9%，就可以用隔年先算出前 2 年的增速

同理后 2 年的增速也出来了，最最后再用一次隔年增速即可

---

$\mathrm{例}9:(1+r{)}^4\mathrm{约}=2.84$

A.28%

B.29%

C.30%

D.31%

像这种选项差距大小的，不需要用 >1+nr 去判断大致范围了，基本也判断不出来，所以直接带入

最好是的是 C 选项得 30%，计算好的可直接算，计算不好的可用隔年算

${11}^2{12}^2{13}^2{14}^2{15}^2{16}^2{17}^2{18}^2{19}^2$

$121144169196225256289324361$

${21}^2=441$					${29}^2=841$
${22}^2=484$	是不是				${28}^2=784$
${23}^2=529$	我二舅				${27}^2=729$
${24}^2=576$	吴奇隆				${26}^2=676$
		${25}^2=625$

年均增长率最常考的平方数：

${1.2}^3=576$	${1.2}^4=2.0$
${1.3}^3=2.2$	${1.3}^4=2.9$
${1.4}^3=2.7$	${1.4}^4=3.8$

6.混合增长率

6.1情况一

识别：部分 1 + 部分 2 = 整体的增长率关系

具体一点的判断：求增长率，但是缺少直接数据，则考虑是否为混合增长率

判断口诀：

（1）居中但不中

（2）偏向基期量较大的

（3）偏向搞不定，就线段法精算

注：求混合增长率，做题时无基期量，一般用现期量近似代替基期量（1）增长率差异大，必须用基期（2）增长率差距不大，才能用现期

例题：2023年3月，我国机器人设备出口金额0.7亿美元，较上年增长110.3%，进口金额2.4亿美元，较上年增长68.5%。2023年1-3月我国机器人设备累计出口金额1.9亿美元，较上年增长62.1%，累计进口金额6.9亿美元，较上年增长55.1%。

问：2023年一季度，我国机器人设备进出口贸易逆差比上年同期：

A.下降了不到30%

B.下降了30%以上

C.上升了不到30%

D.上升了30%以上

解析：题目求的是R,但是没有直接数据（另一种说法：求主体是和的形式或差的形式的增速时），可考虑混合R

已知求的是逆差，则进口 - 出口 = 逆差，转换成加和的形式则是出口 + 逆差 = 进口。然后根据口诀来，先把进口写中间，展现形式： 逆差     进口     出口

                                                           ？        55.1%     62.1%

                                                                      6.9           1.9

以上可知问号出（逆差）应该是小于55.1%的值，但选项都是小于该值的，那么需要继续往下做，偏向基期量较大的，基期量用现期量代替即可，6.9 > 1.9 则是偏向55.1%，先假设不偏，在中间的话，55.1到62.1是7%，那么问号处就是48.1%。那么再加上偏向55.1%的话那么就是需要大于48.1%。因此大于48.1%的选项只有D

线段法拓展运用：

$$\mathrm{增}\mathrm{长}\mathrm{率}=\frac{\mathrm{增}\mathrm{长}\mathrm{量}}{\mathrm{基}\mathrm{期}\mathrm{量}}(\mathrm{资}\mathrm{料})$$$$\mathrm{平}\mathrm{均}\mathrm{数}=\frac{\mathrm{总}\mathrm{量}}{\mathrm{人}\mathrm{数}}(\mathrm{数}\mathrm{量}，\mathrm{资}\mathrm{料})$$

重点注意了：量是分母

混合增长率的量是基期量

混合平均数的量是人数

在资料分析中，问人数比例，但是无任何人数的数据，则解决方法为：用混合平均数线段法

6.2情况二

识别：部分 1 + 部分 2 = 整体的增长率关系

线段法口诀：

（1）混合之前写两边，混合之后写中间

（2）距离和量成反比

例 1：浓度为 13% 的溶液 200 克 与 浓度为 23% 的溶液 b 克，混合之后的浓度为 15%，求 b 为多少克？

距离为 2                 距离为 8

|...........................|..............................|

13%                15%               23%

200 克                                    b 克

因为距离比为 2：8，即 1：4

距离和量成反比，所以量之比为 4：1

$\mathrm{所}\mathrm{以},\frac{4}{1}=\frac{200}{b}\mathrm{所}\mathrm{以}b=50$

例 2：浓度为 13% 的溶液 200 克 与 浓度为 23% 的溶液 300 克，求混合后的浓度？

            ？                        ？

|...........................|..............................|

13%                ？%               23%

200 克                                    300 克

已知 200 克和 300 克，可得量之比为 2：3

距离和量成反比，所以距离之比为 3：2

因为 13% 到 23% 的距离为 10，且根据 3：2 可得一共为 5 份，即将距离 10，分成 5 份，一份就是 2

那么根据 3：2，可得实际的距离比为 6：4，所以最后可得混合之后的浓度为 13%+6%=19%

6.3部分和整体的增速比大小（当月和累计）

切入点：当看到当月和累计，比较增长率，想时间混合

结论：当月增速 > 累计增速 则累计增速上升，反之亦然

           当月增速 < 累计增速 则累计增速下降

时间	白酒		啤酒
	累计产量 （千万升）	同比增速（%）	累计产量 （千万升）	同比增速（%）
2月	83	-26.6	567	8.0
3月	126	-15.3	872	2.3（×）
4月	156	-1.6	1150	0.8（×）
5月	190	2.3	1505	-0.5（×）
6月	215	2.4	1909	-1.0（×）
7月	235	-0.9	2267	-2.7（×）
8月	262	0.0	2638	-2.3（√）
9月	298	-2.8	2930	-2.1（√）
10月	332	-4.5	3108	-2.3（×）
11月	373	-5.9	3277	-1.9（√）

例子：2024年3-11月，全国啤酒当期产量增长率高于累计增长率的有几个？

A.3

B.4

C.5

D.6

解析：问题问的是啤酒的 当期r > 累计r 则看累计r上升的有几个即可（具体看上面表格的对勾和叉）

6.4偏向基期量较大的中的偏向是什么意思？更靠近，距离更短

（1）全年增速10%，上半年增速5%，下半年增速13%，偏向谁？

           上           全          下

          5%          10%          13%

​                5%             3%

如上所示，上半年和全年之间是5%，全年和下半年之间是3%，3%更短，所以是偏向下半年的

（2）全年增速10%，上半年增速8%，若更偏向上半年，下半年的增速范围？

          上           全          下

          8%          10%          ?%

​                2%             2+%

因为更偏向上半年说明上半年的距离短一些，而上半年距离是2%，那么下半年肯定是大于上半年的距离2%的，所以下半年的增速范围 > 10%+2%,即下半年增速 > 12%

（3）全年增速10%，上半年增速5%，若更偏向下半年，下半年增速范围？

           上           全          下

          5%          10%          ?%

​                5%             5-%

如上已知上半年和全年之间的距离是5%，而题中说更偏向下半年，那么意思是下半年距离会短一些，即<5%,

所以下半年的范围 < 10%+5% ,即下半年的范围 < 15%

比值增长率

符合表达式 A=B/C ，材料中有 B,C 的增长率，求 A 的增长率，即为比值增长率（多以平均数的增长率形式出现）

$$\mathrm{公}\mathrm{式}\mathrm{为}\frac{R1-R2}{1+R2},1\mathrm{不}\mathrm{是}\mathrm{单}\mathrm{纯}\mathrm{指}\mathrm{数}\mathrm{字}1，\mathrm{计}\mathrm{算}\mathrm{时}\mathrm{看}\mathrm{成}100$$

---

$\mathrm{因}\mathrm{为}\frac{L\mathrm{省}\mathrm{体}\mathrm{育}\mathrm{彩}\mathrm{票}\mathrm{销}\mathrm{售}\mathrm{额}}{\mathrm{全}\mathrm{国}\mathrm{体}\mathrm{育}\mathrm{彩}\mathrm{票}\mathrm{销}\mathrm{售}\mathrm{额}}=\mathrm{比}\mathrm{重}$

$\mathrm{所}\mathrm{以}\frac{L\mathrm{省}\mathrm{体}\mathrm{育}\mathrm{彩}\mathrm{票}\mathrm{销}\mathrm{售}\mathrm{额}B}{\mathrm{比}\mathrm{重}C}=\mathrm{全}\mathrm{国}\mathrm{体}\mathrm{育}\mathrm{彩}\mathrm{票}\mathrm{销}\mathrm{售}\mathrm{额}A$

所求符合 A=B/C,所以应用比值增长率进行计算

【问题】

2021 年，全国体育彩票销售额的同比增速约为：

A.29.1%

B.21.5%

C.11.1%

D.5.3%

$$R1=\frac{40.34-37.58}{37.58}=\frac{3}{38}=7$$$$R2=\frac{1.75-1.98}{1.98}=-11\mathrm{\%}$$$$\frac{R1-R2}{1+R2}=\frac{7\mathrm{\%}--11\mathrm{\%}}{1+-11\mathrm{\%}}=\frac{18\mathrm{\%}+}{1-11\mathrm{\%}}$$

因为分子是 18%+，分母是一个小于 1 的数，可得最终结果是一个略大于分子 19% 的数，结合选项只能选 B

7.乘积增长率

符合表达式 A=B * C ，材料中有 B,C 的增长率，求 A 的增长率，即为乘积增长率（多以实际含义关系式和部分增长率形式出现）

公式为 R1 + R2 + R1 * R2

有实际含义的乘法式子

部分 = 整体 * 占比

材料里给了问题中量的占比变化情况

例子：2019年1-8月，房地产开发企业土地购置面积12236万平方米，同比下降25.6%，每平米土地价格同比上涨4.5%，土地成交额6374亿元。

2019年1-8月，房地产开发企业土地成交额与去年同期相比增长约：

A.-17% B.-22% C.-27% D.1.2%

该题求r，但只有一个现期量6374，求不出r，那再看题发现 每平米价格 * 土地购置面积 = 土地成交额。符合 A=B * C ，则可以用乘积增长率，r1=4.5%,r2=-25.6%,R1 + R2 + R1 * R2=4.5%+ -25.6%+ 4.5%* -25.6%=-22%

部分、整体、占比的题型速算（比值增长率和乘积增长率）

$$\frac{(\mathrm{部}\mathrm{分})\mathrm{税}\mathrm{收}\mathrm{收}\mathrm{入}a}{（\mathrm{整}\mathrm{体}）\mathrm{一}\mathrm{般}\mathrm{公}\mathrm{共}\mathrm{预}\mathrm{算}\mathrm{收}\mathrm{入}?}=\mathrm{比}\mathrm{重}c$$

【问题】

2021 年 G 省前三季度全省地区生产总值 13985.53 亿元，比上年同期增长 8.7%，比 2019 年同期增长 12.2%；从财政收入看，前三季度，全省一般公共预算收入中 税收收入 887.74 亿元，增长 13.8%，占一般公共预算收入的比重为 63.5%，占比较上年同期提高 1.8 个百分点

2021 年 G 省前三季度一般公共预算收入的同比增速为：

A.10.6%

B.12.1%

C.13.9%

D.15.2%

对于某类题型，我们可能学了一个公式，当我们遇到这类题型我们一般都是带入公式并完整计算，这样速度绝对是最慢的。比如上面这个题型实际上有 2 个公式可用（乘积和比值增长率），需要灵活运用；每个公式可能需要好几步，但是一般可能一步或者两步就能出答案，很少需要全部算完的

已知看到了 中，占等题中已圈出的文字可反应出乘积增长率和比值增长率两个公式。已知部分的量有了，占比有了，问题求的事整体的增长率

首先要先判断一下这个占比的量是增长了还是下降了，如题中“占比较上年同期提高 1.8 个百分点”，说明占比增长了，那么占比增长了的话（如下所示），分子（部分）的增速就会越快，分母（整体）的增速会慢一点，是小于分子增速的，也就是分子的增速大于分母的增速，同时又已知分子（部分）的增速是 13.8%，可得分母（整体）的增速小于 13.8%，可排除掉 CD 两个选项；然后剩 AB 两个选项，直接带入公式（两个公式都可）算答案。

$ \displaystyle 占比（占比增长了）= \frac{部分（部分的增速要快）}{整体（整体的增速要慢）}$

其实就是：要想分数变大，则需要分子尽量大，分母尽量小

用乘积增长率的话：r1 + r2 + r1 * r2 =r3 ，

部分（部分的增长率已知） = 整体（？） * 比重(比重的增长率已知，但需要算一下)

                ⬇                             ⬇                         ⬇

税收收入增长率 13.8%=r3 ** |** r2=选项 a 或 b，带入 **| **1.8/（63.5-1.8）=3% = r1

r1 + r2 + r1 * r2 =r3

3% + A + 3%*A = 13.8%

3% +10.6%+3%*10.6%

=13.6%+0.3%

=13.9% 约等于 13.8，选 A

用比值增长率的话：